В 1972 году окончил Факультет международных отношений МГИМО.

С 1972 года обучался в аспирантуре МГИМО на кафедре истории и культуры стран Азии и Африки.

В 1974 году назначен помощником ректора МГИМО.

В 1977 году защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата исторических наук на тему «Становление и развитие военно-бюрократического режима в Южной Корее (1961—1976)».

В 1977—1983 годах занимал должности старшего преподавателя, доцента кафедры истории и культуры стран Азии и Африки, декана по работе с иностранными учащимися, проректора по международным связям МГИМО.

В 1979 году А. В. Торкунову присвоено учёное звание доцента.

В 1983—1986 годах находился на дипломатической работе — второй, первый секретарь Посольства СССР в Вашингтоне.

В 1986 году был избран деканом Факультета международных отношений МГИМО.

В 1989 году назначен первым проректором МГИМО.

В 1991 году А. В. Торкунову было присвоено учёное звание профессора.

В 1992 году на общем собрании коллектива института был избран ректором МГИМО. Переизбирался на эту должность в 1997, 2002, 2007, 2012 и 2017 годах.

В 1993 году А. В. Торкунову присвоен дипломатический ранг Чрезвычайного и Полномочного Посла.

В 1994 году возглавил Учебно-методическое объединение (УМО) вузов Российской Федерации по образованию в области международных отношений.

В 1995 году А. В. Торкунову присвоена степень доктора политических наук (тема исследования «Проблемы безопасности на Корейском полуострове: международно-политические и внутрикорейские аспекты»).

С 1996 года является председателем Российской ассоциации содействия ООН.

С 1997 года является членом Коллегии МИД России.

С 1999 года является президентом Российской ассоциации международных исследований (РАМИ).

В 2003 году избран членом-корреспондентом Российской академии наук.

С 2005 года является членом и руководителем секции Научного совета при Совете безопасности России.

С 2006 года назначен членом Президиума Совета при Президенте Российской Федерации по науке, технологиям и образованию.

В 2007—2014 годах являлся сопредседателем Российско-польской группы по сложным вопросам.

С 2008 года является главным редактором научного журнала «Вестник МГИМО-Университета».

В мае 2008 года избран академиком РАН.

В 2011—2020 годах — председатель Совета директоров ОАО «Первый канал».

В 2015 году избран сопредседателем Российского исторического общества.

В 2017 году назначен Президентом России В. В. Путиным сопредседателем российско-французского Форума гражданских обществ «Трианонский диалог».

С 2017 года является председателем Общественной палаты Московской области.

В 2019 году вошёл в состав Комиссии при Президенте России по вопросам стратегии развития ТЭК и экологической безопасности.

С 2020 года является президентом Фонда развития (Эндаумента) МГИМО.